Demonstração de Problema: Considerações Inválidas em Intervalos Abertos

[JasonPhysicist]

Here goes a theorem and its demonstration(attachment) .Sorry,I couldn't find it in english,so it's in portuguese).

We have that the intervals In=[An,Bn] which are closed and limited.


What I want to know is: what consideration(s) is/are NOT valid on the demonstration,when we consider an open intervals?

Thank you in advance.

 

[HallsofIvy]

This is the "nested interval property", used to prove that any closed and bounded set of real numbers is compact.

"Let [itex][a_n,b_n][/itex] be a nested set of intervals (nested: each interval is inside the previous interval [itex]a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n[/itex]). Then there exist a real number [itex]\zeta[/itex] contained in the intersection of all the intervals. Further, if [itex]lim_{n\rightarrow \infty}b_n-a_n= 0[/itex], that intersection consists of the single number [itex]\zeta[/itex].

It can be shown that, for all n, [itex]a_n\le b_1[/itex] so that [itex]b_1[/itex] is an upper bound on the set [itex]{a_n}[/itex] and so, by the least upper bound property that set has a least upper bound (sup). Let [itex]\zeta[/itex] be [itex]sup{a_n}[/itex]. Then it can be shown that [itex]\zeta[/itex] is a lower bound on the set [itex]{b_n}[/itex] and, so lies in all intervals [itex][a_n, b_n][/itex]

If the intervals are not closed, then it might happen that that [itex]\zeta[/itex] is NOT in some or all of the intervals.

For example, suppose [itex](a_n, b_n)= (0, \frac{1}{n})[/itex]. The set [itex]{a_n}[/itex] is the set {0} which has 0 as its "least upper bound. But 0 is not in any of those intervals. The same example with closed sets [itex][0, \frac{1}{n}][/itex] would give the same set of "left endpoints" {0} having the same sup, 0, but now 0 is contained in each interval. [itex][0, \frac{1}{n}][/itex] has intersection {0} while [itex](0, \frac{1}{n})[/itex] has empty intersection.

 

[tacman]

Ao considerar intervalos abertos, a demonstração pode não ser válida quando se assume que os intervalos são limitados. Isso porque, em intervalos abertos, não há um limite superior ou inferior definido, já que os extremos não estão incluídos no intervalo. Além disso, a demonstração também pode não ser válida ao assumir que o intervalo é fechado, pois em intervalos abertos, os extremos não estão incluídos e, portanto, o intervalo não é fechado. Outra consideração inválida pode ser assumir que o intervalo é contínuo, já que em intervalos abertos, não há garantia de que o intervalo seja contínuo, já que os extremos não estão incluídos. Portanto, é importante ter em mente que a demonstração pode não ser válida quando se consideram intervalos abertos, pois as características desses intervalos diferem dos intervalos fechados e podem afetar a validade da demonstração.